Divisibilité par 21- Corrigé

Énoncé

Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , l'entier \(n^{7}-n\) est divisible par \(21\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) .

Comme \(7\) est premier, d'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a \(n^{7}-n \equiv 0 \ [7]\) , c'est-à-dire \(n^{7}-n\) est divisible par \(7\) .

Comme \(3\) est premier, d'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a \(n^3-n \equiv 0 \ [3]\) .
On en déduit que \(n^3 \equiv n \ [3]\) .
On a alors :  \(n^{7}\equiv (n^3)^2 \times n\equiv n^2 \times n \equiv n^3 \equiv n \ [3]\)  
donc \(n^{7}-n \equiv 0 \ [3]\) , c'est-à-dire \(n^{7}-n\) est divisible par \(3\) .

Ainsi, \(n^{7}-n\) est divisible par \(7\) et par \(3\) .

Comme \(7\) et \(3\) sont premiers entre eux, d'après le corollaire du théorème de Gauss, \(n^{7}-n\) est divisible par \(7 \times 3=21\) .